Директориальное свойство гиперболы

Точка $M$ лежит на гиперболе $\iff$ отношение расстояния от $M$ до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету $e$. $$\dfrac{|FM|}{d(M, \text{директриса})} = e$$

$\Large\implies$ Пусть $M(x,y)$ на гиперболе. Для фокуса $F_2(c,0)$ и директрисы $x = \dfrac{a}{e}$: $$MF_2 = \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = |e x - a| \quad$$ Расстояние до директрисы: $d_1 = \left|x - \dfrac{a}{e}\right|$. Тогда: $$\dfrac{MF_2}{d_1} = \dfrac{|e x - a|}{\left|x - \dfrac{a}{e}\right|} = e$$ $\Large\impliedby$ Пусть $\dfrac{MF_2}{d_1} = e$ ($F_2(c,0)$, директриса $x = \dfrac{a}{e}$). Для ${} x > \dfrac{a}{e} {}$: $$ \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = e\left(x - \dfrac{a}{e}\right) $$ Возведём в квадрат: $$ (x - c)^2 + y^2 = e^2 \left(x - \dfrac{a}{e}\right)^2 $$ Подставим $c = ae$ и упростим: $$ x^2 (1 - e^2) + y^2 = a^2 (1 - e^2) $$ Используя $b^2 = a^2(e^2 - 1) = -a^2(1 - e^2)$: $$ \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1 $$ $\square$